Test : réponse qualitative (rejet / acceptation d'une hypothèse)
Structure d'un test
On oppose deux hypothèses :
$H_0$ : hypothèse nulle (statu quo)
$H_1$ : hypothèse alternative
On décide de rejeter $H_0$ ou non.
☁️ Exemple introductif — Les faiseurs de pluie
Niveau naturel de pluie en Beauce : $X \sim \mathcal{N}(600, 100^2)$ (mm/an).
Des entrepreneurs prétendent augmenter la moyenne de 50mm. On teste :
$$H_0 : m = 600 \quad \text{contre} \quad H_1 : m = 650$$
Données sur 9 ans : $\bar{x}_9 = 610.2$ mm.
Que conclure ?
7.2 — Les deux types d'erreur
$H_0$ vraie
$H_0$ fausse
On rejette $H_0$
Erreur de type I (risque $\alpha$)
Décision correcte (puissance $1-\beta$)
On accepte $H_0$
Décision correcte
Erreur de type II (risque $\beta$)
⚠️ Erreur de type I ($\alpha$, maîtrisée)
Rejeter $H_0$ alors qu'elle est vraie.
Ex : croire les faiseurs de pluie alors qu'ils ne le sont pas. On fixe $\alpha$ (souvent 5%) et on calibre le test en conséquence.
ℹ️ Erreur de type II ($\beta$, non maîtrisée)
Accepter $H_0$ alors qu'elle est fausse.
Ex : ne pas croire des faiseurs de pluie efficaces. La puissance $1-\beta$ mesure la capacité du test à détecter $H_1$.
7.3 — Démarche générale d'un test
1
Choisir $H_0$ et $H_1$. Fixer le risque $\alpha$ (souvent 5%).
2
Choisir la statistique de test $T_n$ (cohérente avec le paramètre à tester).
3
Construire la règle de décision (forme de la région de rejet, dictée par $H_1$).
4
Calibrer le seuil $t$ à partir de $\alpha$ et de la loi de $T_n$ sous $H_0$.
5
Calculer la valeur observée $t_n^{\text{obs}}$ de $T_n$ sur les données.
6
Conclure : rejeter $H_0$ si la valeur observée est dans la région de rejet.
$$T_n = \frac{\bar{X}_n - m_0}{S_n/\sqrt{n}} \;\sim\; \mathcal{T}_{n-1} \text{ sous } H_0$$
On remplace $\sigma$ par la variance empirique $S_n$.
$H_1$
Région de rejet
Seuil critique
$m > m_0$
$T_n > t$
$t = t_{1-\alpha,n-1}$ (table Student)
$m < m_0$
$T_n < -t$
$t = t_{1-\alpha,n-1}$
$m \neq m_0$
$|T_n| > t$
$t = t_{1-\alpha/2,n-1}$
Pour $n$ grand ($\geq 30$) : $\mathcal{T}_{n-1} \approx \mathcal{N}(0,1)$. On peut utiliser les quantiles de la loi normale.
7.6 — Cas non gaussien
Si les $X_i$ ne sont pas gaussiens mais $n$ est grand (en pratique $n \geq 30$) :
Par le TCL, $\bar{X}_n \approx \mathcal{N}\!\left(m, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$.
Les mêmes procédures de test s'appliquent asymptotiquement.
⚛️ Exemple — Eau potable
Niveau de radioactivité $m$ (picocuries/L). Seuil : $m = 5$.
$$H_0 : m \geq 5 \quad \text{(eau non potable)} \quad \text{contre} \quad H_1 : m < 5 \quad \text{(eau potable)}$$
Erreur de type I : déclarer l'eau potable alors qu'elle est toxique.
→ Conséquence grave !
Erreur de type II : jeter de l'eau potable par précaution.
→ Moins grave.
L'erreur de type I doit être maîtrisée en priorité.
Résumé du Chapitre 7
🔑 Structure d'un test
$H_0$ vs $H_1$ — Fixer $\alpha$ — Statistique de test — Seuil — Conclure
📊 Tests sur $m$ ($\sigma$ connu)
Stat. de test : $Z_n = \dfrac{\bar{X}_n - m_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)$
📊 Tests de Student ($\sigma$ inconnu)
Stat. de test : $T_n = \dfrac{\bar{X}_n - m_0}{S_n/\sqrt{n}} \sim \mathcal{T}_{n-1}$
⚡ Erreurs
Type I ($\alpha$) : rejeter $H_0$ vraie → maîtrisée
Type II ($\beta$) : accepter $H_0$ fausse → non maîtrisée
Puissance = $1-\beta$
🎓 Fin du cours Probabilités & Statistique INSA Toulouse 2026-2027
Illustration — Acceptation et rejet d'un test
Test unilatéral droit : $H_0 : m = m_0$ contre $H_1 : m > m_0$, au niveau $\alpha = 5\%$ ($z_{95\%} = 1.645$).
✅ On ne rejette pas $H_0$ — $Z_{obs} = 0.8$
❌ On rejette $H_0$ — $Z_{obs} = 2.3$
🎯 Quiz — Chapitre 7
Q1.
L'erreur de type I, c'est :
Accepter $H_0$ alors qu'elle est fausse
Rejeter $H_0$ alors qu'elle est vraie
Se tromper dans le calcul de la statistique
Choisir un mauvais $\alpha$
Q2.
$H_0 : m=10$, $\sigma=2$, $n=25$, $\bar{x}=10.8$. Test $H_1 : m > 10$ à $\alpha=5\%$. Rejette-t-on $H_0$ ? ($z_{95\%}=1.645$)
Oui, car $Z_{obs} = 2 > 1.645$
Non, car $Z_{obs} = 0.8 < 1.645$
Oui, car $\bar{x} > m_0$
Non, car $n$ est trop petit
Q3.
La puissance d'un test, c'est :
$\alpha$, le risque de 1ère espèce
$1-\alpha$
$1-\beta$, la probabilité de rejeter $H_0$ quand elle est fausse
$\beta$, le risque de 2ème espèce
Q4.
Pour le test de Student ($\sigma$ inconnu), la statistique $T_n = \frac{\bar{X}_n - m_0}{S_n/\sqrt{n}}$ suit sous $H_0$ :
$\mathcal{N}(0,1)$
$\mathcal{T}_{n}$
$\mathcal{T}_{n-1}$
$\chi^2_{(n-1)}$
✅ Correction du Quiz
Q1 — Réponse : b)
L'erreur de type I = rejeter $H_0$ alors qu'elle est vraie. C'est le risque $\alpha$, que l'on fixe et maîtrise.
Q3 — Réponse : c) $1-\beta$
La puissance = probabilité de rejeter $H_0$ quand elle est effectivement fausse. Un bon test a une puissance élevée.
Q4 — Réponse : c) $\mathcal{T}_{n-1}$
Quand $\sigma$ est inconnu et estimé par $S_n$, la statistique de test suit une loi de Student à $n-1$ degrés de liberté sous $H_0$.
Transparents réalisés avec l'assistance de Claude AI