INSA Toulouse — Génie Civil 2-IC — 2026-2027

Probabilités & Statistique

Chapitre 5

Théorèmes limites

Anthony Réveillac

Plan du chapitre

Inégalité de Chebychev
Loi (faible) des grands nombres (LGN)
Convergence en loi
Théorème central limite (TCL)
Approximation d'une loi binomiale

Motivation

Deux théorèmes jouent un rôle central en probabilités et en statistiques : ils s'appliquent à des phénomènes comportant un grand nombre de v.a.r. indépendantes de même loi.

🎲 Exemple — LGN

Proportion de "pile" dans un jeu de pile ou face sur $n$ lancers : $$\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{?} \mathbb{E}[X_1] = \frac{1}{2}$$

📊 Exemple — TCL

Moyenne empirique de mesures indépendantes :
Pour $n$ grand, la distribution de la moyenne est approximativement normale.

5.1 — Inégalité de Chebychev

Dans tous ces transparents on se place sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$.

Théorème — Inégalité de Chebychev

Soit $X$ une v.a.r. admettant une variance. Pour tout $\varepsilon > 0$ : $$\mathbb{P}[|X - \mathbb{E}[X]| \geq \varepsilon] \leq \frac{\text{Var}(X)}{\varepsilon^2}$$

Posons $\mu = \mathbb{E}[X]$. Soit $A = \{|X-\mu| \geq \varepsilon\}$. On a : $$\text{Var}(X) = \mathbb{E}[(X-\mu)^2] \geq \mathbb{E}[(X-\mu)^2 \mathbf{1}_A] \geq \varepsilon^2\,\mathbb{E}[\mathbf{1}_A] = \varepsilon^2\,\mathbb{P}[A]$$ D'où $\mathbb{P}[|X-\mu| \geq \varepsilon] \leq \text{Var}(X)/\varepsilon^2$. $\square$

Interprétation via l'écart-type $\sigma_X$

En posant $\varepsilon = k\sigma_X$ :

$\mathbb{P}[|X - \mathbb{E}[X]| \geq k\sigma_X] \leq \dfrac{1}{k^2}$

$\mathbb{P}[|X - \mathbb{E}[X]| < k\sigma_X] \geq 1 - \dfrac{1}{k^2}$

Pour $k=10$ : $\mathbb{P}[|X - \mathbb{E}[X]| \geq 10\sigma_X] \leq 1\%$.
⚠️ Borne souvent très grossière en pratique.

5.2 — Loi des grands nombres (LGN)

Théorème — Loi faible des grands nombres

Soient $X_1, \ldots, X_n$ des v.a.r. indépendantes, de même loi, avec variance finie. Posons $m = \mathbb{E}[X_1]$.
Alors pour tout $\varepsilon > 0$ : $$\mathbb{P}\!\left[\left|\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n} - m\right| > \varepsilon\right] \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$ On dit que $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ converge en probabilité vers $m$.

$\mathbb{E}[\bar{X}_n] = m$ et $\text{Var}(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n}$ (par indépendance).
Par Chebychev : $\mathbb{P}[|\bar{X}_n - m| > \varepsilon] \leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$. $\square$

Application — Estimation

Si on observe $n$ réalisations d'une v.a.r. de moyenne $m$ inconnue, la moyenne empirique $\bar{x}_n = \frac{1}{n}\sum x_i$ est un estimateur cohérent de $m$.

5.3 — Convergence en loi

Définition

Une suite $(Y_n)$ converge en loi vers $Y$, noté $Y_n \xrightarrow{\mathcal{L}} Y$, si pour tout $x_0$ point de continuité de $F_Y$ : $$F_{Y_n}(x_0) = \mathbb{P}[Y_n \leq x_0] \xrightarrow[n \to +\infty]{} F_Y(x_0) = \mathbb{P}[Y \leq x_0]$$

Hiérarchie des convergences

p.s.

⟹

prob.

⟹

loi

5.4 — Théorème central limite (TCL)

Théorème — TCL

Soient $X_1, \ldots, X_n$ des v.a.r. i.i.d. avec variance finie. Posons $m = \mathbb{E}[X_1]$ et $\sigma^2 = \text{Var}(X_1)$. Alors : $$\frac{X_1 + \cdots + X_n - nm}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$$

Reformulation pratique

Pour $n$ grand, la somme $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ suit approximativement la loi $\mathcal{N}(nm, n\sigma^2)$.
La moyenne empirique $\bar{X}_n$ suit approximativement $\mathcal{N}\!\left(m, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$.

5.5 — Approximation d'une loi binomiale

Soit $Y \sim \mathcal{B}(n,p)$. On contrôle $n$ pièces avec probabilité de défaut $p$.

📊 Par une loi normale

Si $\min(np, n(1-p)) \geq 5$ : $$\frac{Y - np}{\sqrt{np(1-p)}} \approx \mathcal{N}(0,1)$$ Avec correction de continuité : $$\mathbb{P}[Y = k] \approx \mathbb{P}\!\left[\frac{k-0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}} < Z < \frac{k+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right]$$

📈 Par une loi de Poisson

Si $p < 0.1$ et $n > 50$ (événements rares) : $$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}[Y_n=k] = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$$ avec $\lambda = np$.

Quand utiliser quoi ?

$p$ pas trop petit, $n$ grand → Normale
$p$ très petit, $n$ grand → Poisson

Résumé du Chapitre 5

📐 Chebychev

$\mathbb{P}[|X - \mathbb{E}[X]| \geq \varepsilon] \leq \dfrac{\text{Var}(X)}{\varepsilon^2}$

📐 LGN

$\bar{X}_n \xrightarrow{\mathbb{P}} m = \mathbb{E}[X_1]$

🔔 TCL (le plus important !)

$$\frac{\bar{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$$ Fondement de l'inférence statistique.

Prochain chapitre :
Estimation statistique

🎯 Quiz — Chapitre 5

Q1.

$X$ avec $\mathbb{E}[X]=5$ et $\text{Var}(X)=4$. Que donne l'inégalité de Chebychev pour $\mathbb{P}[|X-5| \geq 4]$ ?

$\leq 1/4$
$\leq 1/2$
$\leq 4$
$= 0$

Q2.

$X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. avec $\mathbb{E}[X_1]=3$ et $\text{Var}(X_1) < \infty$. Vers quoi converge $\bar{X}_n$ en probabilité ?

$0$
$3$
$\mathcal{N}(3,1)$
Cela dépend de la loi

Q3.

$X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. avec $\mathbb{E}[X_1]=2$, $\text{Var}(X_1)=9$. Quelle est la loi approx. de $\bar{X}_n$ pour $n$ grand ?

$\mathcal{N}(2, 9)$
$\mathcal{N}(2, 9/n)$
$\mathcal{N}(0, 1)$
$\mathcal{N}(2n, 9n)$

Q4.

$Y \sim \mathcal{B}(100, 0.3)$. Quelle loi utiliser pour approximer $Y$ ?

$\mathcal{P}(30)$ (Poisson)
$\mathcal{N}(30, 21)$ (Normale)
$\mathcal{U}([0,100])$ (Uniforme)
$\mathcal{E}(1/30)$ (Exponentielle)

✅ Correction du Quiz

Q1 — Réponse : a) $\leq 1/4$
$\mathbb{P}[|X-5| \geq 4] \leq \dfrac{\text{Var}(X)}{4^2} = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$.

Q2 — Réponse : b) $3$
Par la loi des grands nombres : $\bar{X}_n \xrightarrow{\mathbb{P}} \mathbb{E}[X_1] = 3$.

Q3 — Réponse : b) $\mathcal{N}(2, 9/n)$
Par le TCL : $\bar{X}_n \approx \mathcal{N}\!\left(m, \dfrac{\sigma^2}{n}\right) = \mathcal{N}\!\left(2, \dfrac{9}{n}\right)$.

Q4 — Réponse : b) $\mathcal{N}(30, 21)$
$np = 30 \geq 5$ et $n(1-p) = 70 \geq 5$ : on utilise l'approximation normale. $\mathbb{E}[Y] = np = 30$, $\text{Var}(Y) = np(1-p) = 100 \times 0.3 \times 0.7 = 21$.

Transparents réalisés avec l'assistance de Claude AI