INSA Toulouse — Génie Civil 2-IC — 2026-2027

Probabilités & Statistique

Chapitre 4

Manipulation de variables aléatoires

Anthony Réveillac

Plan du chapitre

  1. Espérance mathématique
  2. Variance et écart-type
  3. Tableau récapitulatif des lois
  4. Loi d'un couple de v.a.r.
  5. Indépendance de v.a.r.
  6. Variables gaussiennes — propriétés

4.1 — Espérance mathématique

Dans tous ces transparents on se place sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$.
Définition — Espérance de $h(X)$
Cas discret ($X$ à valeurs dans $\mathcal{X}$) : $$\mathbb{E}[h(X)] = \sum_{x \in \mathcal{X}} h(x)\,\mathbb{P}[X=x]$$
Cas continu (densité $f_X$) : $$\mathbb{E}[h(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} h(x)\,f_X(x)\,dx$$
Pour $h(x) = x$ : $\mathbb{E}[X]$ est la moyenne de $X$, la valeur moyenne pondérée par les probabilités.
Propriétés de l'espérance
  1. Linéarité : $\mathbb{E}[\alpha X + \beta Y] = \alpha\,\mathbb{E}[X] + \beta\,\mathbb{E}[Y]$
  2. Si $X = a$ (constante) : $\mathbb{E}[X] = a$
  3. Si $X \geq Y$ : $\mathbb{E}[X] \geq \mathbb{E}[Y]$

4.1 — Espérance : exemples

🎰 Roulette
Gain $G$ : $\mathbb{P}[G=+1]=18/37$, $\mathbb{P}[G=-1]=19/37$. $$\mathbb{E}[G] = 1 \times \frac{18}{37} + (-1) \times \frac{19}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0.027$$ Le jeu est défavorable au joueur.
🏗️ Charge sur une poutre
La charge $C$ (en kN) appliquée sur une poutre vaut :
  • $10$ kN avec probabilité $0.6$ (charge courante)
  • $20$ kN avec probabilité $0.4$ (charge exceptionnelle)
Charge moyenne : $$\mathbb{E}[C] = 10 \times 0.6 + 20 \times 0.4 = 6 + 8 = 14 \text{ kN}$$ La charge moyenne de 14 kN sert de référence pour le dimensionnement.

4.2 — Variance et écart-type

Définition — Variance
$$\text{Var}(X) = \mathbb{E}[|X - \mathbb{E}[X]|^2]$$ Mesure la dispersion de $X$ autour de sa moyenne.
Propriétés
  • $\text{Var}(X) \geq 0$
  • $\text{Var}(X) = 0 \Leftrightarrow X$ constante
  • $\text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2$
  • $\text{Var}(aX+b) = a^2\,\text{Var}(X)$
  • $\text{Var}(X+b) = \text{Var}(X)$
Définition — Écart-type
$\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)}$, même unité que $X$. Permet de comparer avec $\mathbb{E}[X]$.
Variable centrée réduite : $Y = \dfrac{X - \mathbb{E}[X]}{\sigma_X}$, alors $\mathbb{E}[Y] = 0$ et $\text{Var}(Y) = 1$.

4.3 — Tableau récapitulatif

Loi Notation $\mathbb{E}[X]$ $\text{Var}(X)$
Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ $p$ $p(1-p)$
Binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ $np$ $np(1-p)$
Géométrique $\mathcal{G}(p)$ $\dfrac{1}{p}$ $\dfrac{1-p}{p^2}$
Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ $\lambda$ $\lambda$
Normale $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ $m$ $\sigma^2$
Exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ $\dfrac{1}{\lambda}$ $\dfrac{1}{\lambda^2}$

4.4 — Loi d'un couple $(X,Y)$

Fonction de répartition conjointe
$$F_{X,Y}(x,y) = \mathbb{P}[X \leq x,\; Y \leq y]$$
Cas discret
Loi conjointe : $p_{X,Y}(x_i, y_j) = \mathbb{P}[X=x_i, Y=y_j]$
Lois marginales : $$p_X(x_i) = \sum_j p_{X,Y}(x_i, y_j)$$
Cas continu
Densité conjointe $f_{X,Y}(x,y) \geq 0$ : $$\mathbb{P}[X \in A, Y \in B] = \iint_{A \times B} f_{X,Y}(x,y)\,dxdy$$ Densités marginales : $$f_X(x) = \int f_{X,Y}(x,y)\,dy$$

4.5 — Indépendance de v.a.r.

Définition — Indépendance
$X$ et $Y$ sont indépendantes ssi pour tous $A, B \subset \mathbb{R}$ : $$\mathbb{P}[X \in A,\; Y \in B] = \mathbb{P}[X \in A]\,\mathbb{P}[Y \in B]$$
Théorème — Caractérisation
  • Cas discret : $X \perp Y \Leftrightarrow p_{X,Y}(x,y) = p_X(x)\,p_Y(y)$
  • Cas continu : $X \perp Y \Leftrightarrow f_{X,Y}(s,t) = f_X(s)\,f_Y(t)$
  • Équivalent : $F_{X,Y}(a,b) = F_X(a)\,F_Y(b)$
Propriétés si $X \perp Y$
$\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y]$
$\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

4.6 — Propriétés des variables gaussiennes

Proposition — Stabilité par transformation affine
Si $X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$ et $a, b \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$ : $$aX + b \sim \mathcal{N}(am+b,\; a^2\sigma^2)$$
Standardisation
$X \sim \mathcal{N}(m,\sigma^2) \Rightarrow \dfrac{X-m}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$
$Z \sim \mathcal{N}(0,1) \Rightarrow \sigma Z + m \sim \mathcal{N}(m,\sigma^2)$
Proposition — Stabilité par somme
Si $X \sim \mathcal{N}(m_1, \sigma_1^2)$ et $Y \sim \mathcal{N}(m_2, \sigma_2^2)$ sont indépendantes : $$X + Y \sim \mathcal{N}(m_1 + m_2,\; \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$$
Cette propriété est propre aux lois normales (et de Poisson). Elle est fondamentale pour le TCL du chapitre suivant.

Résumé du Chapitre 4

🔑 Espérance
Moyenne pondérée des valeurs possibles.
Linéaire : $\mathbb{E}[\alpha X + \beta Y] = \alpha\mathbb{E}[X] + \beta\mathbb{E}[Y]$
📊 Variance
$\text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2$
$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$
🔗 Indépendance
$f_{X,Y} = f_X \cdot f_Y$
$\Rightarrow \mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]$
$\Rightarrow \text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$
Prochain chapitre :
Théorèmes limites (LGN, TCL)

🎯 Quiz — Chapitre 4

Q1.

$X \sim \mathcal{N}(3, 4)$. Que vaut $\mathbb{E}[2X+1]$ ?

  1. $7$
  2. $6$
  3. $9$
  4. $4$
Q2.

$X$ et $Y$ indépendantes avec $\text{Var}(X)=2$ et $\text{Var}(Y)=3$. Que vaut $\text{Var}(X+Y)$ ?

  1. $\sqrt{5}$
  2. $5$
  3. $6$
  4. On ne peut pas savoir
Q3.

$X \sim \mathcal{B}(10, 0.4)$. Que vaut $\text{Var}(X)$ ?

  1. $4$
  2. $2.4$
  3. $0.4$
  4. $10$
Q4.

$X$ et $Y$ sont indépendantes avec $\mathbb{E}[X]=2$ et $\mathbb{E}[Y]=3$. Que vaut $\mathbb{E}[XY]$ ?

  1. $5$
  2. $6$
  3. $\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y^2]$
  4. On ne peut pas savoir

✅ Correction du Quiz

Q1 — Réponse : a) $7$
Par linéarité : $\mathbb{E}[2X+1] = 2\mathbb{E}[X] + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7$.
Q2 — Réponse : b) $5$
Par indépendance : $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) = 2 + 3 = 5$.
Q3 — Réponse : b) $2.4$
Pour $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ : $\text{Var}(X) = np(1-p) = 10 \times 0.4 \times 0.6 = 2.4$.
Q4 — Réponse : b) $6$
Par indépendance : $\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y] = 2 \times 3 = 6$.
Transparents réalisés avec l'assistance de Claude AI