INSA Toulouse — Génie Civil 2-IC — 2026-2027

Probabilités & Statistique

Chapitre 3

Variables aléatoires

Anthony Réveillac

Plan du chapitre

  1. Définition d'une variable aléatoire réelle
  2. Loi de probabilité et fonction de répartition
  3. Variables discrètes vs continues
  4. Les lois discrètes fondamentales
  5. Les lois continues fondamentales

3.1 — Motivation

Souvent, on n'est pas intéressé par le résultat de l'expérience lui-même, mais par une fonction numérique de ce résultat.

🏭 Exemple — Contrôle qualité
On observe $n$ pièces : défectueuse ($=1$) ou non ($=0$). $\Omega = \{0,1\}^n$.
Ce qui intéresse le fabricant : la proportion de pièces défectueuses $$X(\omega) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \omega_i$$ $X$ est une fonction $\Omega \to \mathbb{R}$ : c'est une variable aléatoire réelle.

Variable aléatoire réelle

Définition — Variable aléatoire réelle (v.a.r.)
Étant donné un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$, une variable aléatoire réelle est une application mesurable : $$X : \omega \in \Omega \;\mapsto\; X(\omega) \in \mathbb{R}$$ c'est-à-dire que pour tout borélien $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ : $$\{X \in B\} = \{\omega \in \Omega : X(\omega) \in B\} \in \mathcal{A}.$$
Définition — Loi de probabilité de $X$
La loi de probabilité de $X$, notée $\mathbb{P}_X$, associe à toute partie $A \subset \mathbb{R}$ : $$\mathbb{P}_X[A] = \mathbb{P}[\{\omega \in \Omega : X(\omega) \in A\}] = \mathbb{P}[X \in A]$$
Notation
On écrira : $\mathbb{P}[X \in A]$, $\mathbb{P}[X = x]$, $\mathbb{P}[X \leq x]$, $\mathbb{P}[a < X \leq b]$...

3.2 — Fonction de répartition

Définition — Fonction de répartition
$$F_X(x) = \mathbb{P}[X \leq x], \quad \forall x \in \mathbb{R}$$
Propriétés
  • $0 \leq F_X(x) \leq 1$
  • $F_X(x) \to 0$ quand $x \to -\infty$
  • $F_X(x) \to 1$ quand $x \to +\infty$
  • $F_X$ est croissante
  • $F_X$ est continue à droite
  • $\mathbb{P}[a < X \leq b] = F_X(b) - F_X(a)$
Définition — Quantile d'ordre $\alpha$
Si $F_X$ est strictement croissante, le quantile d'ordre $\alpha \in ]0,1[$ est le nombre $x_\alpha$ tel que : $$F_X(x_\alpha) = \alpha \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbb{P}[X \leq x_\alpha] = \alpha$$ La médiane est le quantile d'ordre $1/2$.

3.3 — Types de variables aléatoires

Variable discrète
$X$ à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable $E$.
La loi est caractérisée par : $$\mathbb{P}[X = x], \quad x \in E$$ La fonction de répartition est en escalier.
Exemple
Nombre de pièces défectueuses, résultat d'un dé...
Variable continue
$X$ à valeurs dans un ensemble infini non dénombrable, et $F_X$ est continue.
Caractérisée par sa densité $f_X \geq 0$ telle que : $$F_X(t) = \int_{-\infty}^t f_X(x)\,dx$$ $$\mathbb{P}[a < X < b] = \int_a^b f_X(x)\,dx$$
Exemple
Durée de vie, diamètre d'un composant...
Pour une v.a.r. continue : $\mathbb{P}[X = x] = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Les deux v.a.r. ont même loi si et seulement si leurs fonctions de répartition sont égales.

3.4 — Lois discrètes fondamentales

Bernoulli $\mathcal{B}(p)$
$X$ à valeurs dans $\{0, 1\}$, $\mathbb{P}[X=1] = p$, $\mathbb{P}[X=0] = 1-p$
État d'un système, pile/face
Binomiale $\mathcal{B}(n,p)$
$X$ à valeurs dans $\{0,\ldots,n\}$ $$\mathbb{P}[X=k] = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ Nb de succès en $n$ épreuves indép.
Géométrique $\mathcal{G}(p)$
$X$ à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ $$\mathbb{P}[X=k] = p(1-p)^{k-1}$$ Nb d'essais jusqu'au 1er succès
Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$
$X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ $$\mathbb{P}[X=k] = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$$ Loi des événements rares
Limite de $\mathcal{B}(n,p)$ avec $np \to \lambda$

3.5 — Lois continues fondamentales

Uniforme $\mathcal{U}([a,b])$
$$f_X(x) = \frac{1}{b-a} \;\text{ si } x \in [a,b]$$ Toute valeur dans $[a,b]$ est également probable.
Exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$
$$f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} \;\text{ si } x \geq 0$$ Fiabilité — durée de vie de composants électroniques.
Paramètre $\lambda$ = taux de défaillance.
🔔 Normale $\mathcal{N}(m, \sigma^2)$
$$f_X(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left\{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right\}$$ "Courbe en cloche", symétrique en $x=m$.
Diamètre de roulement, erreurs de mesure, vieillissement...
Gamma $\gamma(a,\lambda)$
$$f_X(x) = \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)} x^{a-1} e^{-\lambda x}, \; x \geq 0$$ Généralise l'exponentielle ($a=1$).

Visualisation des densités continues

x f 1 2 3 4 5 Exp(1) N(3,1) Exponentielle Normale
L'aire sous la courbe entre $a$ et $b$ = $\mathbb{P}[a < X < b]$. L'aire totale vaut toujours $\mathbf{1}$.

Résumé du Chapitre 3

🔑 V.a.r.
$X : \Omega \to \mathbb{R}$, application mesurable.
Loi : $\mathbb{P}_X[A] = \mathbb{P}[X \in A]$
📐 Lois discrètes
Bernoulli$\mathcal{B}(p)$
Binomiale$\mathcal{B}(n,p)$
Géométrique$\mathcal{G}(p)$
Poisson$\mathcal{P}(\lambda)$
📊 Fonction de répartition
$F_X(x) = \mathbb{P}[X \leq x]$
Croissante, continue à droite
📐 Lois continues
Uniforme$\mathcal{U}([a,b])$
Exponentielle$\mathcal{E}(\lambda)$
Gamma$\gamma(a,\lambda)$
Normale$\mathcal{N}(m,\sigma^2)$
Prochain chapitre :
Manipulation de variables aléatoires

🎯 Quiz — Chapitre 3

Q1.

$X \sim \mathcal{B}(10, 0.3)$. Que vaut $\mathbb{E}[X]$ ?

  1. $0.3$
  2. $3$
  3. $10$
  4. $2.1$
Q2.

$X \sim \mathcal{E}(\lambda)$. Que vaut $\mathbb{P}[X > t]$ pour $t \geq 0$ ?

  1. $\lambda e^{-\lambda t}$
  2. $1 - e^{-\lambda t}$
  3. $e^{-\lambda t}$
  4. $e^{\lambda t}$
Q3.

$X \sim \mathcal{N}(2, 9)$. Que valent $\mathbb{E}[X]$ et $\text{Var}(X)$ ?

  1. $\mathbb{E}[X]=9$, $\text{Var}(X)=2$
  2. $\mathbb{E}[X]=2$, $\text{Var}(X)=3$
  3. $\mathbb{E}[X]=2$, $\text{Var}(X)=9$
  4. $\mathbb{E}[X]=2$, $\text{Var}(X)=\sqrt{9}$
Q4.

$X$ est une variable aléatoire réelle continue. Que vaut $\mathbb{P}[X = 3]$ ?

  1. $f_X(3)$ où $f_X$ est la densité
  2. $F_X(3)$
  3. $0$
  4. Cela dépend de la loi

✅ Correction du Quiz

Q1 — Réponse : b) $3$
Pour $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ : $\mathbb{E}[X] = np = 10 \times 0.3 = 3$.
Q2 — Réponse : c) $e^{-\lambda t}$
$\mathbb{P}[X > t] = \int_t^{+\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = e^{-\lambda t}$. C'est la propriété de sans mémoire de la loi exponentielle.
Q3 — Réponse : c) $\mathbb{E}[X]=2$, $\text{Var}(X)=9$
Pour $X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$ : $\mathbb{E}[X] = m = 2$ et $\text{Var}(X) = \sigma^2 = 9$. Attention : $\sigma^2 = 9$, donc $\sigma = 3$.
Q4 — Réponse : c) $0$
Pour toute v.a.r. continue : $\mathbb{P}[X = x] = \int_x^x f_X(t)\,dt = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Transparents réalisés avec l'assistance de Claude AI