INSA Toulouse — Génie Civil 2-IC — 2026-2027

Probabilités & Statistique

Chapitre 2

Probabilités conditionnelles & Indépendance

Anthony Réveillac

Plan du chapitre

  1. Probabilités conditionnelles — définition
  2. Formule des probabilités totales
  3. Formule de Bayes
  4. Indépendance de deux événements
  5. Indépendance de $n$ événements

2.1 — Motivation

En pratique, certains événements peuvent avoir une influence sur d'autres.

🎲 Exemple
On lance deux dés. Soit $A = \{\text{somme} \geq 11\}$ et $B = \{\text{1er dé donne 6}\}$.
La réalisation de $B$ influe clairement sur la réalisation de $A$.
Idée
Si l'on sait que $B$ est réalisé, l'espace des événements possibles n'est plus $\Omega$ tout entier, mais est restreint à $B$. On s'intéresse alors à la réalisation de $A$ à l'intérieur de $B$, c'est-à-dire à $A \cap B$.
Ω A B A∩B

Probabilité conditionnelle — Définition

Dans tous ces transparents on se place sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$.
Définition
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $\mathbb{P}[B] \neq 0$. La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est : $$\mathbb{P}[A|B] = \frac{\mathbb{P}[A \cap B]}{\mathbb{P}[B]}.$$
Formules de multiplication
Si $\mathbb{P}[B] \neq 0$ : $\mathbb{P}[A \cap B] = \mathbb{P}[A|B]\cdot\mathbb{P}[B]$
Si $\mathbb{P}[A] \neq 0$ : $\mathbb{P}[A \cap B] = \mathbb{P}[B|A]\cdot\mathbb{P}[A]$

2.2 — Formule des probabilités totales

Proposition — Probabilités totales
Soit $(A_i)_{i \in I}$ une partition de $\Omega$ : $\bigcup_{i} A_i = \Omega$ et $A_i \cap A_j = \emptyset$ pour tous $i \neq j$.
Si $\mathbb{P}[A_i] \neq 0$ pour tout $i$, alors pour tout événement $A$ : $$\mathbb{P}[A] = \sum_{i \in I} \mathbb{P}[A|A_i]\,\mathbb{P}[A_i].$$
Comme $(A_i)$ est une partition de $\Omega$ : $$A = A \cap \Omega = A \cap \bigcup_i A_i = \bigcup_i (A \cap A_i)$$ Les $A \cap A_i$ sont deux à deux disjoints (car les $A_i$ le sont). Par la propriété d'additivité d'une probabilité : $$\mathbb{P}[A] = \sum_i \mathbb{P}[A \cap A_i] = \sum_i \mathbb{P}[A|A_i]\,\mathbb{P}[A_i] \quad \square$$
📡 Exemple — Système de communication
Un signal binaire est émis : 0 ou 1 avec équiprobabilité. On note :
  • $E_0$, $E_1$ : événements "le signal émis est 0 (resp. 1)"
  • $R_0$, $R_1$ : événements "le signal reçu est 0 (resp. 1)"
Le canal est bruité : $\mathbb{P}[R_0|E_0]=0.7$ et $\mathbb{P}[R_1|E_1]=0.8$. Une erreur se produit quand le signal reçu diffère du signal émis. Par la formule des probabilités totales : $$\mathbb{P}[\text{erreur}] = \mathbb{P}[R_1|E_0]\,\mathbb{P}[E_0] + \mathbb{P}[R_0|E_1]\,\mathbb{P}[E_1] = 0.3 \times 0.5 + 0.2 \times 0.5 = 0.25.$$

2.3 — Formule de Bayes

Proposition — Formule de Bayes (1763)
Sous les mêmes hypothèses (partition $(A_i)$ avec $\mathbb{P}[A_i] \neq 0$) : $$\mathbb{P}[A_i | A] = \frac{\mathbb{P}[A|A_i]\,\mathbb{P}[A_i]}{\displaystyle\sum_{j \in I} \mathbb{P}[A|A_j]\,\mathbb{P}[A_j]}.$$
Par définition de la probabilité conditionnelle : $$\mathbb{P}[A_i | A] = \frac{\mathbb{P}[A_i \cap A]}{\mathbb{P}[A]} = \frac{\mathbb{P}[A|A_i]\,\mathbb{P}[A_i]}{\mathbb{P}[A]}$$ On conclut en appliquant la formule des probabilités totales au dénominateur. $\square$
🔄 Intérêt — Mise à jour bayésienne
La formule de Bayes permet de mettre à jour notre connaissance des probabilités en fonction d'informations nouvelles. Elle est fondamentale en statistique bayésienne.
On passe des probabilités "a priori" $\mathbb{P}[A_i]$ aux probabilités "a posteriori" $\mathbb{P}[A_i|A]$.

2.4 — Indépendance de deux événements

Définition — Indépendance
Soient $A$ et $B$ deux événements. On dit que $A$ et $B$ sont indépendants si : $$\mathbb{P}[A \cap B] = \mathbb{P}[A]\,\mathbb{P}[B].$$
Interprétation
$A$ et $B$ sont indépendants $\Longleftrightarrow$ $\mathbb{P}[A|B] = \mathbb{P}[A]$ et $\mathbb{P}[B|A] = \mathbb{P}[B]$.
La réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre.
Proposition — Stabilité
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A^C$ et $B$, $A$ et $B^C$, $A^C$ et $B^C$ le sont aussi.
$\mathbb{P}[A^C \cap B] = \mathbb{P}[B] - \mathbb{P}[A \cap B] = \mathbb{P}[B] - \mathbb{P}[A]\mathbb{P}[B] = (1-\mathbb{P}[A])\mathbb{P}[B] = \mathbb{P}[A^C]\mathbb{P}[B]$. $\square$

⚠️ Indépendance ≠ Incompatibilité

Erreur fréquente à éviter !
Ces deux notions sont fondamentalement différentes.
✅ Indépendants (non incompatibles)
On lance deux dés :
$A = \{$1er dé donne 6$\}$,
$B = \{$somme paire$\}$
$\mathbb{P}[A \cap B] = \mathbb{P}[A]\mathbb{P}[B]$ ✓
Mais $A \cap B \neq \emptyset$
✅ Incompatibles (non indépendants)
On lance deux dés :
$A = \{$1er dé donne 6$\}$,
$B = \{$somme $< 3\}$
$A \cap B = \emptyset$ ✓ (incompatibles)
Mais $\mathbb{P}[A \cap B] \neq \mathbb{P}[A]\mathbb{P}[B]$
Résumé : Si $A \cap B = \emptyset$ et $\mathbb{P}[A], \mathbb{P}[B] > 0$, alors $A$ et $B$ sont incompatibles mais pas indépendants (car $\mathbb{P}[A \cap B] = 0 \neq \mathbb{P}[A]\mathbb{P}[B] > 0$).

2.5 — Indépendance de $n$ événements

Définition
Les événements $A_1, \ldots, A_n$ sont indépendants (dans leur ensemble) si pour tout $k \geq 2$ et tout choix d'indices distincts $i_1, \ldots, i_k$ : $$\mathbb{P}[A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k}] = \mathbb{P}[A_{i_1}]\cdots\mathbb{P}[A_{i_k}].$$
⚠️ Attention
L'indépendance deux à deux n'implique pas l'indépendance dans leur ensemble !

Exercices

Exercice 1. Téléphone avec $\mathbb{P}[D_t] = e^{-ct}/(1+t)$. Calculer $\mathbb{P}[D_2 | D_1]$.
Exercice 2. Système de communication (0 ou 1 équiprobable). $\mathbb{P}[R_0|E_0]=0.7$, $\mathbb{P}[R_1|E_1]=0.8$.
  1. Calculer $\mathbb{P}[E_0|R_1]$.
  2. Calculer la probabilité d'une erreur de transmission.
Exercice 3. On lance deux dés. $A$ = "1er dé pair", $B$ = "2ème dé pair", $C$ = "somme paire".
  1. Montrer que $A$, $B$, $C$ sont deux à deux indépendants.
  2. Sont-ils indépendants dans leur ensemble ?

Résumé du Chapitre 2

🔑 Probabilité conditionnelle
$$\mathbb{P}[A|B] = \frac{\mathbb{P}[A \cap B]}{\mathbb{P}[B]}$$
📐 Prob. totales
$$\mathbb{P}[A] = \sum_i \mathbb{P}[A|A_i]\mathbb{P}[A_i]$$
🔄 Bayes
$$\mathbb{P}[A_i|A] = \frac{\mathbb{P}[A|A_i]\mathbb{P}[A_i]}{\sum_j \mathbb{P}[A|A_j]\mathbb{P}[A_j]}$$
🔗 Indépendance
$$\mathbb{P}[A \cap B] = \mathbb{P}[A]\mathbb{P}[B]$$ ⟺ $\mathbb{P}[A|B] = \mathbb{P}[A]$
⚡ À retenir
  • Indépendance ≠ Incompatibilité
  • 2 à 2 indép. ≠ indép. globale
Prochain chapitre :
Variables aléatoires
Transparents réalisés avec l'assistance de Claude AI

🎯 Quiz — Chapitre 2

Q1.

Soient $A$ et $B$ avec $\mathbb{P}[A]=0.6$, $\mathbb{P}[B]=0.5$, $\mathbb{P}[A \cap B]=0.3$. Que vaut $\mathbb{P}[A|B]$ ?

  1. $0.3$
  2. $0.5$
  3. $0.6$
  4. $0.18$
Q2.

$A$ et $B$ sont indépendants avec $\mathbb{P}[A]=0.4$ et $\mathbb{P}[B]=0.3$. Que vaut $\mathbb{P}[A \cap B]$ ?

  1. $0.7$
  2. $0.1$
  3. $0.12$
  4. On ne peut pas savoir
Q3.

$A$ et $B$ sont incompatibles avec $\mathbb{P}[A]=0.3$ et $\mathbb{P}[B]=0.4$. Sont-ils indépendants ?

  1. Oui, car $\mathbb{P}[A \cap B]=0$
  2. Non, car $\mathbb{P}[A \cap B] \neq \mathbb{P}[A]\mathbb{P}[B]$
  3. Oui si $\mathbb{P}[A]=\mathbb{P}[B]$
  4. On ne peut pas savoir
Q4 — Test médical (Bayes).

Une maladie touche 1% de la population. Un test est positif à 99% si on est malade, et à 5% si on est sain. Si le test est positif, quelle est la probabilité d'être malade ?

  1. $99\%$
  2. $50\%$
  3. $\approx 17\%$
  4. $1\%$

✅ Correction du Quiz

Q1 — Réponse : c) $0.6$
$\mathbb{P}[A|B] = \frac{\mathbb{P}[A \cap B]}{\mathbb{P}[B]} = \frac{0.3}{0.5} = 0.6$.
Q2 — Réponse : c) $0.12$
Par indépendance : $\mathbb{P}[A \cap B] = \mathbb{P}[A]\mathbb{P}[B] = 0.4 \times 0.3 = 0.12$.
Q3 — Réponse : b)
$\mathbb{P}[A \cap B] = 0$ mais $\mathbb{P}[A]\mathbb{P}[B] = 0.12 \neq 0$ : incompatibles mais pas indépendants.
Q4 — Réponse : c) $\approx 17\%$
Soit $M$ = "être malade" et $T^+$ = "test positif". Par Bayes : $$\mathbb{P}[M|T^+] = \frac{\mathbb{P}[T^+|M]\mathbb{P}[M]}{\mathbb{P}[T^+]} = \frac{0.99 \times 0.01}{0.99 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99} \approx 0.167$$ où le dénominateur $\mathbb{P}[T^+] = \mathbb{P}[T^+|M]\mathbb{P}[M] + \mathbb{P}[T^+|M^C]\mathbb{P}[M^C]$ est la probabilité totale d'un test positif (formule des probabilités totales avec la partition $\{M, M^C\}$).
Malgré un test fiable à 99%, la rareté de la maladie fait que la plupart des positifs sont des faux positifs !
Transparents réalisés avec l'assistance de Claude AI