INSA Toulouse — Génie Civil 2-IC — 2026-2027

Probabilités & Statistique

Chapitre 1

Introduction à la théorie des probabilités

Anthony Réveillac

Plan du chapitre

Pourquoi les probabilités en Ingénierie de la Construction ?
Modélisation d'un phénomène aléatoire
Univers et événements
Opérations sur les événements
Probabilité : définition axiomatique
Propriétés et probabilité uniforme

1.1 — Pourquoi les probabilités en IC ?

Dans de nombreux systèmes physiques ou industriels, on ne peut pas connaître tous les paramètres :

🏗 Exemple — Pont

La force du vent sur un pont est imprévisible. On ne peut pas inclure tous les facteurs réalistes dans un modèle physique.

⚙️ Exemple — Composant

Durée de vie d'un composant, résistance du béton, propagation d'incertitude dans la fabrication.

🎯 Objectif du cours

Modéliser la source d'incertitude
Évaluer le risque induit

📐 Applications IC

Probabilité de défaillance
Propagation d'incertitude
Résistance caractéristique du béton
Chargement aléatoire d'un lanceur

1.2 — Modélisation d'un phénomène aléatoire

Trois étapes pour modéliser un facteur aléatoire :

Univers $\Omega$

Lister l'ensemble de tous les résultats possibles.

Événements $\mathcal{A}$

Définir les sous-ensembles de $\Omega$ modélisant des situations d'intérêt.

Probabilité $\mathbb{P}$

Associer à chaque événement un nombre mesurant sa probabilité de réalisation.

Le triplet $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ est appelé espace de probabilité.

1.3 — L'univers $\Omega$

Définition — Univers

L'univers $\Omega$ est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.

Exemples :

🎲 Pile ou face

$\Omega = \{\text{pile}, \text{face}\}$
ou $\Omega = \{\text{pile}, \text{face}, \text{tranche}\}$

⚙️ Système en panne / fonctionnel

$\Omega = \{0, 1\}$
0 = en panne, 1 = fonctionnel

🌪️ Force du vent (discret)

$\Omega = \{\text{Force 0}, \ldots, \text{Force 12}\}$

🌪️ Vitesse du vent (continu)

$\Omega = [0, 300]$ (km/h)
Précision supplémentaire

💡 Remarque

Le choix de $\Omega$ dépend du niveau de précision souhaité. Il n'y a pas de choix unique et canonique. L'univers peut être discret (fini ou dénombrable) ou continu (intervalle de $\mathbb{R}$).

1.4 — Les événements

Définition — Événement aléatoire

Un événement aléatoire est un sous-ensemble $A \subset \Omega$. On dit que $A$ est réalisé si le résultat $\omega$ de l'expérience appartient à $A$.

🎲 Dé à 6 faces

"Obtenir un chiffre pair" : $$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$$ $$A = \{2, 4, 6\} \subset \Omega$$

⏱ Durée de vie

"Durée $\geq$ 1000 heures" : $$\Omega = \mathbb{R}_+$$ $$A = [1000, +\infty[ \;\subset\; \Omega$$

Événements particuliers

$\emptyset$ : événement impossible
$\Omega$ : événement certain

🌪️ Exemple pont

"Vent de force $\geq$ 10" : $$\Omega = \{\text{Force 0}, \ldots, \text{Force 12}\}$$ $$A = \{\text{F10}, \text{F11}, \text{F12}\} \subset \Omega$$

1.5 — Opérations sur les événements

Définition — Événement contraire

Le contraire de $A$, noté $A^C$, est le complémentaire dans $\Omega$ : $$A^C = \{\omega \in \Omega : \omega \notin A\}$$

Définition — Opérations ensemblistes

Intersection ($A$ et $B$) : $$A \cap B = \{\omega : \omega \in A \text{ et } \omega \in B\}$$ $A$ et $B$ sont réalisés simultanément.

Union ($A$ ou $B$) : $$A \cup B = \{\omega : \omega \in A \text{ ou } \omega \in B\}$$ Au moins l'un des deux est réalisé.

Définition — Événements incompatibles

$A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$. La réalisation de l'un exclut celle de l'autre.

Illustration — Diagramme de Venn

$A \cap B$ : zone commune (violet)

$A \cup B$ : toute la zone hachurée

$A^C$ : Tout élément de $\Omega$ qui n'appartient pas à $A$

Incompatibles : cercles disjoints

1.6 — Définition d'une probabilité

Définition — Probabilité (axiomes de Kolmogorov)

Soit $(\Omega, \mathcal{A})$. Une probabilité $\mathbb{P}$ sur $(\Omega, \mathcal{A})$ est une application $\mathbb{P} : \mathcal{A} \to [0,1]$ telle que :

$\mathbb{P}[\Omega] = 1$
Pour toute famille d'événements deux à deux incompatibles $(A_n)_{n \geq 1}$ : $$\mathbb{P}\!\left[\bigcup_{n=1}^{+\infty} A_n\right] = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}[A_n]$$

Définition — Espace probabilisé

Le triplet $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ est appelé espace probabilisé, où :

$\Omega$ est l'univers
$\mathcal{A}$ est la tribu des événements
$\mathbb{P}$ est une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$.

⚠️ Remarque importante

Le choix de $\mathbb{P}$ est arbitraire et fait partie du modèle. C'est à l'ingénieur de proposer le modèle le plus adapté à la situation réelle. Il n'existe pas de choix canonique.

1.7 — Propriétés de la probabilité

Proposition

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un espace probabilisé. Soient $A$, $B$ des événements. Alors :

$\mathbb{P}[A^C] = 1 - \mathbb{P}[A]$

$\mathbb{P}[\emptyset] = 0$

Si $A \subset B$ : $\mathbb{P}[A] \leq \mathbb{P}[B]$

$\mathbb{P}[A \cup B] = \mathbb{P}[A] + \mathbb{P}[B] - \mathbb{P}[A \cap B]$

$\mathbb{P}\!\left[\bigcup_{k=1}^N A_k\right] \leq \sum_{k=1}^N \mathbb{P}[A_k]$

Si $\Omega$ fini : $\mathbb{P}[A] = \displaystyle\sum_{\omega \in A} \mathbb{P}[\{\omega\}]$

1.8 — Probabilité uniforme

Cas $\Omega$ fini : $\Omega = \{\omega_1, \ldots, \omega_N\}$.

Probabilité uniforme (équiprobabilité)

$$\mathbb{P}[\{\omega_i\}] = \frac{1}{N} \quad \Rightarrow \quad \mathbb{P}[A] = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$$

"Choisir au hasard" signifie que les choix sont équiprobables. Les calculs se ramènent alors à de l'analyse combinatoire.

🎲 Dé à 6 faces

$\mathbb{P}[\{\omega\}] = 1/6$ pour tout $\omega$.
$A = \{2, 4, 6\}$ : $$\mathbb{P}[A] = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

🔵 Urne

12 boules (8 blanches, 4 noires).
$\mathbb{P}[\text{blanche}] = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Exercices

Exercice 1.

Une urne contient 12 boules numérotées (1–8 blanches, 9–12 noires). On tire une boule au hasard.

Décrire l'espace des issues.
Probabilité d'une boule portant un nombre pair ?
Probabilité de tirer une boule blanche ?
Probabilité d'une boule noire portant un nombre impair ?

Exercice 2 — Le paradoxe du chevalier de Méré.

Le Chevalier de Méré pensait que les deux jeux avaient la même probabilité de gagner. Son expérience lui montrait que le jeu 1 était plus avantageux. Calculer les probabilités des deux jeux et résoudre le paradoxe.

Jeu 1 : Obtenir au moins un as en lançant 4 fois un dé à 6 faces.
Jeu 2 : Obtenir au moins un double as en lançant 24 fois une paire de dés.

Résumé du Chapitre 1

🔑 Vocabulaire

Univers $\Omega$ : ensemble des possibles
Événement $A \subset \Omega$
$A^C$, $A \cap B$, $A \cup B$
Événements incompatibles : $A \cap B = \emptyset$

📐 Probabilité

$\mathbb{P} : \mathcal{A} \to [0,1]$
$\mathbb{P}[\Omega]=1$
$\mathbb{P}[A \cup B] = \mathbb{P}[A] + \mathbb{P}[B] - \mathbb{P}[A \cap B]$
$\mathbb{P}[A^C]=1-\mathbb{P}[A]$

⚡ Points clés

Le choix de $\Omega$ et de $\mathbb{P}$ est arbitraire
Équiprobabilité : $\mathbb{P}[A] = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$
Triplet $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ = espace de probabilité

Prochain chapitre :
Probabilités conditionnelles & Indépendance

🎯 Quiz — Chapitre 1

Q1.

Soient $A$ et $B$ incompatibles avec $\mathbb{P}[A] = 0.3$ et $\mathbb{P}[B] = 0.4$. Que vaut $\mathbb{P}[A \cup B]$ ?

$0.12$
$0.58$
$0.70$
On ne peut pas savoir

Q2.

Soit $A$ un événement avec $\mathbb{P}[A] = 0.7$. Que vaut $\mathbb{P}[A^C]$ ?

$0.7$
$0.3$
$1.7$
$-0.7$

Q3.

Une urne contient 5 boules rouges et 3 bleues.
On tire une boule au hasard.
Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

$3/8$
$5/3$
$5/8$
$1/2$

Q4.

$\mathbb{P}[A]=0.5$, $\mathbb{P}[B]=0.4$, $\mathbb{P}[A \cap B]=0.2$. Que vaut $\mathbb{P}[A \cup B]$ ?

$0.9$
$0.7$
$0.2$
$1.1$

✅ Correction du Quiz

Q1 — Réponse : c) $0.70$
$A$ et $B$ incompatibles $\Rightarrow$ $\mathbb{P}[A \cup B] = \mathbb{P}[A] + \mathbb{P}[B] = 0.3 + 0.4 = 0.7$.

Q2 — Réponse : b) $0.3$
$\mathbb{P}[A^C] = 1 - \mathbb{P}[A] = 1 - 0.7 = 0.3$.

Q3 — Réponse : c) $5/8$
$\Omega$ contient $5 + 3 = 8$ boules. Par équiprobabilité : $\mathbb{P}[\text{rouge}] = \frac{\text{Card}(\text{rouge})}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{5}{8}$.

Q4 — Réponse : b) $0.7$
$\mathbb{P}[A \cup B] = \mathbb{P}[A] + \mathbb{P}[B] - \mathbb{P}[A \cap B] = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7$.

Transparents réalisés avec l'assistance de Claude AI